ギブス

【DSP を用いたディジタルフィルタの基礎実験】

ちょうど1年前、任意の関数を三角関数の無限級数で近似するという、フーリエ変換なるテクニックを学びました。

これがほんとに面白いんです (画像は2007年11月18日の日記より)。

　
　

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で、今かなり気になっているのがココ(↓)。
　

何かちょっとはみ出しすぎな部分があるんですよ。

これはギブス現象 (Gibbs phenomenon) と呼ばれており、区分的滑らかな関数の不連続点における左側極限値と右側極限値の差に対して18%の突起が上下に現れるというものだそうです (と教科書に書いてあったけれど、誤解を招きかねない表現なので補足。 上に9%、下に9%、合わせて18%です)。

僕は∑とか∫とかを見た瞬間にアレルギー反応を示す特異体質なので、去年は 『あーはいはい、ギブスね』 と、すごく適当な覚え方をしていた気がします。 べつに試験さえパスできればいいし！

――などと考えていたら、3年生の実験でフーリエ変換をフル活用する羽目になりました。 涙目です。

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【報告事項】

2-8-3) フーリエ級数を有限項で打ち切ってフィルタを実現したため、カットオフ周波数付近ではギブス現象が見られる。 ギブス現象について調べ、報告せよ。

えーと……、日本語でおｋ。

とりあえずこの問題は、フーリエ級数を有限で打ち切ったせいでギブス現象が発生したんだ！ って言いたいらしいけれど、たとえ無限級数であっても不連続点を持つ関数を解析している以上、理論上は必ずギブス現象が発生すると思うのです。
(それが観測できるか否かはまた別問題なのですが)

もし間違っていたらごめんね。

松下泰雄著 『フーリエ解析 -基礎と応用-』 の P42 あたりには、くだんのギブス現象に関する言及があるのですが、トピックがハイレヴェルである事を示す★マークが付いている上、数式がかなり端折られていたので、たった2ページの記述を理解するのに3時間くらいかかりました。 鬱。

その代わり、レポートのために徹底活用させてもらいましたが。

……うーむ、大学院に行くならば院試対策としてフーリエ解析を復習しておいた方がいいかも。 色々忘れてる……。